AbkГјrzung Wahrscheinlichkeit

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Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie bildet gemeinsam mit der mathematischen Statistik das weite Feld der Stochastik , die von der Beschreibung zufälliger Ereignisse und ihrer Modellierung handelt.

Wie jedes Teilgebiet der modernen Mathematik wird auch die Wahrscheinlichkeitstheorie mengentheoretisch formuliert und auf axiomatischen Vorgaben aufgebaut.

Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse, die als Mengen aufgefasst werden und denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind; Wahrscheinlichkeiten sind reelle Zahlen zwischen 0 und 1; die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen muss gewissen Mindestanforderungen genügen.

Diese Definitionen geben keinen Hinweis darauf, wie man die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse ermitteln kann; sie sagen auch nichts darüber aus, was Zufall und was Wahrscheinlichkeit eigentlich sind.

Die mathematische Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist somit für verschiedene Interpretationen offen, ihre Ergebnisse sind dennoch exakt und vom jeweiligen Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs unabhängig.

Konzeptionell wird als Grundlage der mathematischen Betrachtung von einem Zufallsvorgang oder Zufallsexperiment ausgegangen.

Wenn ein bestimmtes Ergebnis eintritt, spricht man von einem Ereignis. Umfasst das Ereignis genau ein Element der Ergebnismenge, handelt es sich um ein Elementarereignis.

Zusammengesetzte Ereignisse beinhalten mehrere Ergebnisse. Das Ergebnis ist also ein Element der Ergebnismenge, das Ereignis jedoch eine Teilmenge , wobei diese Unterscheidung häufig vernachlässigt wird.

In dem typischen Fall, dass der Wahrscheinlichkeitsraum aus den reellen Zahlen besteht, muss bezüglich der Zuordnung der Wahrscheinlichkeiten zu den Ereignissen zwischen einer abzählbaren und überabzählbaren Ergebnismenge unterschieden werden.

Bei einer abzählbaren Ergebnismenge kann jedem Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden.

Ein Prototyp einer überabzählbaren Ergebnismenge ist die Menge der reellen Zahlen. In vielen Modellen ist es nicht möglich, allen Teilmengen der reellen Zahlen sinnvoll eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.

Wenn die erste Ableitung der Verteilungsfunktion von P existiert, so ist sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von P. Die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte werden jedoch nicht als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Die axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde in den er Jahren von Andrei Kolmogorow entwickelt. Dies kann ja durchaus von der Beschaffenheit der Münze abhängen.

Wenn man annimmt, dass nur endlich viele Elementarereignisse möglich und alle gleichberechtigt sind, d. Als Konsequenz folgt, dass für Ereignisse, die sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzen, die entsprechend vielfache Wahrscheinlichkeit gilt.

Man erhält also den einfachen Zusammenhang:. Bei Laplace-Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Zahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse, dividiert durch die Zahl der insgesamt möglichen Ergebnisse.

Hier hat jedes Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit. Das Konzept der Laplace-Experimente lässt sich auf den Fall einer stetigen Gleichverteilung verallgemeinern.

Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses B bereits bekannt ist.

Stufe zwischen männlich und weiblich unterschieden und in der 2. Stufe zwischen GK und LK. Wir hätten aber ebenso diese beiden Merkmale in umgekehrter Reihenfolge betrachten können:.

Die Anteile von männlichen und weiblichen Schülern und die Zahlen ganz rechts entnehmen wir wieder sofort der Vierfeldertafel. Die vier bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Stufe teilen. Beide Baumdiagramme enthalten zwar dieselben Informationen, allerdings sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die man unmittelbar ablesen kann, verschieden.

Daher ist es in vielen Situationen wichtig, zunächst zu überlegen, welches der beiden Diagramme man anfertigen sollte. Möchten wir aus einem Baumdiagramm das umgekehrte erstellen, kann es hilfreich sein, als Zwischenschritt eine Vierfeldertafel anzufertigen falls diese nicht ohnehin schon vorliegt.

Möchten wir diesen Schritt vermeiden, können wir die Zahlen ganz rechts einfach übernehmen, wobei wir aufpassen müssen, welcher Wert zu welchem Pfad gehört.

Die Wahrscheinlichkeiten der 1. Stufe erhalten wir mit der Pfadadditionsregel. Mithilfe der Baumdiagramme haben wir gelernt, was unter bedingten Wahrscheinlichkeiten im Sachkontext zu verstehen ist.

Im Baumdiagramm haben wir diese Wahrscheinlichkeit so berechnet:. Dies ist möglicherweise auch beim im Unterricht verwendeten Buch der Fall.

Dieses Zeichen stammt aus der Mengenlehre. Manchmal fragt man sich, ob bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment das Ergebnis in der 1.

Stufe den weiteren Verlauf beeinflussen kann. Sehen wir uns ein Beispiel an, bei dem dies deutlich wird:. Wir betrachten eine Urne mit 2 grünen und 3 roten Kugeln.

Aus dieser werden 2 Kugeln gezogen. Legen wir die erste Kugel wieder zurück, dann hat die erste Kugel natürlich keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Ziehen.

Legen wir sie aber nicht zurück, dann hat die erste Kugel sehr wohl einen Einfluss. Das sehen wir daran, dass die Wahrscheinlichkeiten in der 2. Stufe im rechten Diagramm verschieden sind, je nachdem ob zuerst Rot oder zuerst Grün gezogen wurde.

Bei diesem Beispiel war es von vorneherein klar, ob das Ergebnis der 1. Stufe die 2. Stufe beeinflusst. In vielen Situationen ist dies aber gar nicht klar, sondern kann erst anhand von gegebenen Zahlen berechnet werden.

Das ist etwas absurd, soll aber deutlich machen, dass dies mit Logik allein nicht zu begründen wäre — wir brauchen Daten, mit denen wir rechnen können.

Die Auswertung an einer Schule hat vielleicht dies hier ergeben:. Die Wahl eins Deutsch-LKs hingegen schon. In der Stufe 10 und oder in einem Grundkurs dürfte die Erklärung von oben, was unter stochastischer Unabhängigkeit zu verstehen ist, eigentlich genügen.

Für alle, die etwas neugieriger sind, sehen wir uns noch etwas striktere und formalere Definition an:. Mit der folgenden Überlegung können wir uns einen groben Eindruck davon machen, warum dies eine geeignete formale Definition ist.

Wir gehen zunächst davon aus, dass ist, d. Der Bruch ist aber genau die bedingte Wahrscheinlichkeit.

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Ein Prototyp einer überabzählbaren Ergebnismenge ist die Menge der reellen Zahlen. In vielen Modellen ist es nicht möglich, allen Teilmengen der reellen Zahlen sinnvoll eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.

Wenn die erste Ableitung der Verteilungsfunktion von P existiert, so ist sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von P. Die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte werden jedoch nicht als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Die axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde in den er Jahren von Andrei Kolmogorow entwickelt.

Dies kann ja durchaus von der Beschaffenheit der Münze abhängen. Wenn man annimmt, dass nur endlich viele Elementarereignisse möglich und alle gleichberechtigt sind, d.

Als Konsequenz folgt, dass für Ereignisse, die sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzen, die entsprechend vielfache Wahrscheinlichkeit gilt.

Man erhält also den einfachen Zusammenhang:. Bei Laplace-Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Zahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse, dividiert durch die Zahl der insgesamt möglichen Ergebnisse.

Hier hat jedes Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit. Das Konzept der Laplace-Experimente lässt sich auf den Fall einer stetigen Gleichverteilung verallgemeinern.

Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses B bereits bekannt ist.

Natürlich muss B eintreten können, es darf also nicht das unmögliche Ereignis sein. Diese Überlegung galt für einen Laplaceversuch.

Für den allgemeinen Fall definiert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von "A, vorausgesetzt B" als. Dass diese Definition sinnvoll ist, zeigt sich daran, dass die so definierte Wahrscheinlichkeit den Axiomen vom Kolmogorow genügt, wenn man sich auf B als neue Ergebnismenge beschränkt ; d.

Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich folgende Konsequenzen:. Die Wahrscheinlichkeit hiervon berechnet sich zu.

Beispiel: Es wird eine Karte aus 32 Karten gezogen. A sei das Ereignis: "Es ist ein König". B sei das Ereignis: "Es ist eine Herz-Karte".

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt B, lässt sich durch die bedingte Wahrscheinlichkeit von B, vorausgesetzt A, wie folgt ausdrücken, wenn man die totalen Wahrscheinlichkeiten P B und P A hat:.

Es wird nun eine beliebige Kugel aus einer beliebigen Urne gezogen. Die Kugel ist rot. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kugel aus Urne "A" stammt.

Die Wahrscheinlichkeiten der 1. Stufe erhalten wir mit der Pfadadditionsregel. Mithilfe der Baumdiagramme haben wir gelernt, was unter bedingten Wahrscheinlichkeiten im Sachkontext zu verstehen ist.

Im Baumdiagramm haben wir diese Wahrscheinlichkeit so berechnet:. Dies ist möglicherweise auch beim im Unterricht verwendeten Buch der Fall.

Dieses Zeichen stammt aus der Mengenlehre. Manchmal fragt man sich, ob bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment das Ergebnis in der 1.

Stufe den weiteren Verlauf beeinflussen kann. Sehen wir uns ein Beispiel an, bei dem dies deutlich wird:. Wir betrachten eine Urne mit 2 grünen und 3 roten Kugeln.

Aus dieser werden 2 Kugeln gezogen. Legen wir die erste Kugel wieder zurück, dann hat die erste Kugel natürlich keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Ziehen.

Legen wir sie aber nicht zurück, dann hat die erste Kugel sehr wohl einen Einfluss. Das sehen wir daran, dass die Wahrscheinlichkeiten in der 2.

Stufe im rechten Diagramm verschieden sind, je nachdem ob zuerst Rot oder zuerst Grün gezogen wurde. Bei diesem Beispiel war es von vorneherein klar, ob das Ergebnis der 1.

Stufe die 2. Stufe beeinflusst. In vielen Situationen ist dies aber gar nicht klar, sondern kann erst anhand von gegebenen Zahlen berechnet werden.

Das ist etwas absurd, soll aber deutlich machen, dass dies mit Logik allein nicht zu begründen wäre — wir brauchen Daten, mit denen wir rechnen können.

Die Auswertung an einer Schule hat vielleicht dies hier ergeben:. Die Wahl eins Deutsch-LKs hingegen schon.

In der Stufe 10 und oder in einem Grundkurs dürfte die Erklärung von oben, was unter stochastischer Unabhängigkeit zu verstehen ist, eigentlich genügen.

Für alle, die etwas neugieriger sind, sehen wir uns noch etwas striktere und formalere Definition an:. Mit der folgenden Überlegung können wir uns einen groben Eindruck davon machen, warum dies eine geeignete formale Definition ist.

Wir gehen zunächst davon aus, dass ist, d. Der Bruch ist aber genau die bedingte Wahrscheinlichkeit. Das Eintreten von verändert also die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von nicht, wenn wir stochastische Unabhängigkeit im Sinne der formalen Definition voraussetzen.

Mit ein paar weiteren Umformungen kann man auch zeigen, dass dann auch gilt. Das spiegelt genau unsere Einführung von oben wieder, in der wir gesagt haben, dass die Teilbäume der zweiten Stufe gleich beschriftet sein müssen.

Nehmen wir an, wir haben ein Baumdiagramm gegeben und kennen alle Wahrscheinlichkeiten, die man dort angeben kann:. Wir möchten aber leider die bedingte Wahrscheinlichkeit bestimmen, die ausgerechnet nicht in diesem Baumdiagramm zu finden ist, sondern nur im umgekehrten.

Der Satz von Bayes, den wir nun herleiten, liefert uns eine Formel, diese Wahrscheinlichkeit aus den gegebenen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen ohne das gesamte umgekehrte Baumdiagramm zu erstellen.

Um den Satz aber erst einmal herzuleiten, müssen wir uns nochmal das umgekehrte Baumdiagramm vor Augen führen:.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit steht ganz oben an der 2. Würden wir das Baumdiagramm erstellen, würden wie sie berechnen durch: Die Wahrscheinlichkeit müssen wir beim umkehren des Baumdiagramm aber auch zunächst bestimmen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der zwei Pfade im ursprünglichen Diagramm, die in enden addieren: Fügen wir nun die beide Gleichungen zusammen, erhalten wir den Satz von Bayes: Letztlich stellt er eigentlich nur eine Zusammenfassung der Rechnung dar, die man automatisch durchführt, wenn man das umgekehrte Baumdiagramm erstellt.

Wir betrachten die folgenden Ereignisse:.

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